2023届大庆铁人中学2020级高三上学期月考数学答案

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19.(12分)已知函数f(x)=lnx-ax 3(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.解：1)f'(x)=1-a(x>0,(1分)①当a≤0时，f'(r)=1-a>0,f(x)在区间(0， 0)上单调递增；(3分)②当a>0时，令f'(x)>0,得0 a,所以f(x)在区间(0，）上单调递增，在区间（日，十∞）上单调递减。(5分)综上，当a≤0时，f(x)在区间(0， ∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间（日，十∞上单调递减.(7分)(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上单调递增，而f(1)=3一a>0不成立；(9分)当a>0时，fx)的最大值为f(日白）有f(日)≤0，即-1na 2≤0，所以a≥e.综上，a的取值范围为[e2,十∞).(12分)

15.若关于x的不等式x>ke(x十1)的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是【答案[品·动)【解析】当k≤0时，任一正整数都满足不等式x>ke(x十1)，故k>0.当k>0,x≥1时，不等式x>ke(x十1)等价于ex十1D-上<0，令f(x)=ex十1-1，x≥1，所以当x≥1时，f'(x)=(x x-1)>0恒成立，f(1)=2e-i<0，2所以f(x)在区间[1，十∞)上单调递增，所以解得3e22ef(2)=3e212≥0