2023届衡水金卷先享题 信息卷 全国甲卷B 理综(一)1试题答案

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22、解：(1)f)的定义域为(0， 0)，对函数f)求导得∫(x)=nx 1今f-0.则-.于花西数利在0之上单调递减，在e上单调递增，所以函数x)的最小值为哈-君(3分)(2)由条件知g(x)=x-f(x)-1 =emdn-xlnx-1.2-1令xlnx=t,由(1)可知e.于是函数8()可转化为函h)=e"-t-1,u≥-马)不等式8()20对任意的x∈(0， o)恒成立，可转化为h)=e-1-1≥0，对任意不等式(，)20对任意的x∈(0， ∞)恒成立，可转化为M)=e-1-1≥0，对任意的t∈[-1， ∞)恒成立，即只需满足h)m之0即可。一(5分)对函数0)-e-1-l求导得h(0=ae”-l,当a≤0时，间<0，所以函数)在[- o)上单调递减，又h0)=e-2<0,不符合题意，故舍去：(7分)当6>0时，令0=0，解。11=_1ln-=@当a=e时，a"ae,则h≥0，所以函数0在-2 o)上单调递增，但=e宁=21<0不符合题意，故舍去：>-1②当a≠e时，由(1)知a"ae,月(Ln,to)单调递减，在aa上单调递增，所以函数a2n马=1-n-lh(t)min=h(≥011-1aaaaa，所以只需满足aaa即可。可以进一步得到：lna-a 1≥0.构造函数m(o@)=ha-a ha>≥0且a≠e,求导得：m(a=1二a,所以m(@在(0,1)上单调递增，在， ∞）上单调递减，于是m(a)≤m()=0,即lna-a 1≤0，于是lna-a 1=0解得a=1,符合条件，(11分)综上：a=1(12分)

21.(1)令t=l0g2x,则y=t2-2t a2.(1)因为x∈(0， o),所以t∈R,则对任意x∈(0， o),f(x)>0恒成立等价于对任意t∈R,y>0恒成立.故△=4-4a2<0,解得a<-1或a>1,即a的取值范围为(-o,-1)U(1, o∞)，(4分)(2)因为x∈[2， o∞)，所以t∈[1， o),因为y=t2-2t a2图象的对称轴为t=1,所以y=2-2t a2在[1， o∞)上单调递增，即f(x)在[2， oo)上单调递增，因为x≥2，所以2-2≥>2,4 4-1>2.因为1，所以m2-2）>24因为fm(2-2)》 1,所以m的取值范围是(12分)60