2023年普通高等学校招生全国统一考试·金卷(四)4政治g答案

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解：(1)因为右焦点为F(√2,0)，所以c=√2，因为离心率e=C=6a31所以a=√3，b2=a2-c2=3-2=1,22所以精圆C的方程为3十y=1.(2)当直线PF垂直于工轴时，MN1=25≠5（合去）：3当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为y=k(x一√2)，y=k(x-√2)，由3 y2=1,整理得(1 3k2)x2-6√2k2x 6k2-3=0,设M(x1y1),N(x2,y2),由题意知△>0恒成立，62k26k2-3所以x1 x2=1十3k2x1x2=1 3k2所以|MN|=√1 k|x1-x2|=√1 /(x1十x2)-4x1x=√1 6√2k2126k2-3一4×1 3k21 3k212k 12√1 kW(1 3k2)2=3,解得k=士1，所以直线PF的方程为y=士(x一√2).因为A,B为椭圆C在y轴上的两个顶点，所以不妨设A(0,1),B(0,一1)，因为AP·BP=0,设P(m,n),所以(m,n一1)·(m,n 1)=0,即m2 n2=1,因为A户.BP=0,设P(m,n),所以(m,n-1)·(m,n 1)=0,即m2 n2=1,即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，√212因为原点到直线PF的距离d==1,√/1 k√1 （士1）2所以直线PF与圆m2十n2=1相切，所以∠OPF=90°.

(1解：国为双南线的虚轴长为4，且经过点(，)，2b=4,a=1,所以{259解得16a24b2=1,b=2,所以双曲线的标准方程为x?_=1.4(2)证明：联立=一1，得T(一1,2)，由题意知过T点的直线斜率存在，y=-2x,设过T点的直线方程为y一2=k(x十1)，P(x1,y1),Q(x2y2),y-2=k(x 1),联立得(4一k2)x2-(2k2十4k)x一(k2十4k 8)=0,则△=(2k2 4k)2十4(4一k2)(k2十4k 8)>0,得k>一2，所以x1十x,=4k 2k2-(k2十4k 8)4-k2x1x2=4一k2因为A2(1,0),所以直线A:P的方程为y三红一1y=-2x,yi联立7-解得xM=y1 2(x1-1)1y2同理可得xN=y2 2(x2-1)同理可得xN=y2y2 2(x2-1)y1y2kx1十k十2kx2十k十2所以xM十xN=十十y1 2(x1-1)y2 2(x2-1)(k 2)x1 k(k 2)x2 k2k(k十2)x1x2 (2k2十4k 4)(x1 x2)十2k(k 2)[(k 2)x1 k[(k 2)x2 k]因为2k(k 2)x1x2 (2k2 4k 4)(x, x2) 2k(k 2)=4-[-2k(质 2)(k2 4h 8) (2k: 4h)(4k 2k2) 2k(k 2)(4-k2)]=4·{(-2)(k 2)[(2 4k 8)-(2k2 4k 4)-（4-k2)]}=0,即xM十xN=O,所以对角线MN与A1A?互相平分，即四边形A,MA2N为平行四边形.