2023届湖南省高三试卷9月联考(23-35C)历史试题答案

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20.【命题说明】本题依托四棱锥，考查棱锥中的线面位置关系及求二面角，强调综合运用所学知识来解决问题的能力【学科素养】本题重在运算、联想与推理，重点考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养」【分析】(1)设AB=2AD=2DC=2,可得AC⊥BC,利用平面PCB⊥平面ABCD,可得AC⊥平面PCB,则AC⊥PB:(2)取BC的中点O为坐标原点，以OP的方向为：轴正方向，过点O分别作AB和AD的平行线，分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系Oxyz,分别求得平面ABP的法向量和平面ACP的法向量，进而利用数量积求解即可.也可以直接寻找两平面所成角的平面角，在三角形中运用余弦定理求解。【解析】(1)由题意，设AB=2AD=2DC=2,又AB∥DC,AB⊥AD,得AC=BC=2,又AB=2,所以AC⊥BC,…………2分又平面PCB∩平面ABCD=CB,且平面PCB⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥平面PCB,故AC⊥PB.3分(2)方法一（向量法）：取BC的中点O为坐标原点，以OP的方向为之轴正方向，过点O分别作AB和AD的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxy2,由△PCB为正三角形，BC=2,得PO=4分2P则A(80小B(-0)c(g-0小P(0,)则AB=(-20,0A-(--号）aC-(-1,-1,0.5分1n·AB=0设n=(x,y,名)为平面ABP的法向量，则有n·AP=0n·AB=0设n=(x,y,之)为平面ABP的法向量，则有n·AP=0-2.x1=0即-三-之为十昏，=0可取”=（06,1)，……………8分2=0设m=(x2,y,)为平面ACP的法向量，m·AC=0则有m·AP=0一x2一y2=0即1………10分2-所以cos(n,m)=n。m6 6√7n m77×3设二面角BPA-C的平面角为a,则n==(os,m)-1-(-)=厘，故二面角BPAC的正弦值为厚…………12分方法二（几何法）：如图，取PA的中点M,连接CM,在平面PAB中作MN⊥PA,连接CN,BD由(1)知AC=BC=√2，又△PCB为正三角形，所以PC=BC=PB=√2，所以PC=AC,所以CM⊥PA,又MN⊥PA,所以∠CMN为二面角B-PA-C的平面角.…5分因为AC⊥平面PCB,所以AC⊥PC,所以PA=√JPC AC=2,CM=AM=1,在△ABP中，PB=V2,AB=PA=2,所以cos∠BAP=PA AB-PB=4 4-23…………7分2PA·AB84所以CM⊥PA,又MN⊥PA,所以∠CMN为二面角B-PA-C的平面角.5分因为AC⊥平面PCB,所以AC⊥PC,所以PA=√PC AC=2,CM=AM=1,在△ABP中，PB=√2，AB=PA=2,所以cOS∠BAP=PAAB-PB=4 4-2-3…………7分2PA·AB4所以sn∠BAP=9a∠BAP-MN=AM,an∠BAP-号AN=AM4Cos∠BAP=3,…8分在△ACN中，∠CAN=45°，所以CN=√AC AN-2AC·AN·cos∠CAN=.........10分3在△MNC中，cos∠CMN=MN CMF-CV(图 -(2MN·CM2×7×1所以sin∠CMN=即二面角BPAC的正弦值为>…12分

14.【命题说明】本题依托二项式定理，突出考查利用二项式展开式的通项求系数，考查学生对这些知识的理解掌握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养.【解析】令x=0→a=一1，由题得(x-1)5的展开式的通项为T 1=Cx5-(一1)'，令5-r=2,得r=3,令5-r=3,得r=2,所以a4=C8(-1)3十C6(-1)2=0,所以ao十a3=一1.答案：一1